En los últimos años hemos visto el auge de una nueva área de las matemáticas que cada vez posee mayor presencia en la investigación científica: la cuantificación de incertidumbre.
La incertidumbre está presente en todo tipo de indagaciones y en todo aquello que requiera respuestas. Probablemente tanto el desarrollo de la conciencia humana como el desarrollo de la manipulación del ambiente, lo cual es nuestra solución de supervivencia como especie, tengan mucho que ver con la medición de la incertidumbre. Si esto es cierto, significaría que el nacimiento de la cultura está relacionado con la incertidumbre y con la manera en que nos hacemos cargo de ella.
Al indagar los fenómenos del universo los científicos obtenemos observaciones empíricas. A partir de ellas nos hacemos una idea de la realidad física. Cuando representamos sistemas físicos a través de modelos matemáticos y simulaciones computacionales hay una inevitable cascada de errores, primero en la observación y después en la representación tanto teórica como la de los modelos.
Estos errores tienen qué ver con la repetitividad de los experimentos, es decir, qué tanto podemos repetir las condiciones en las que medimos algún fenómeno. También pueden tener relación con algunas limitaciones computacionales para representar las ecuaciones. En última instancia los modelos son eso, representaciones de la realidad, no son la realidad misma ni pueden abarcar todas sus propiedades. Lo que la cuantificación de incertidumbre hace es auxiliarse de métodos cuantitativos para conocer qué tan confiables son las representaciones que hacemos de la realidad física. De ahí la necesidad de hablar de incertidumbre.
El área específica a la que se ha llamado cuantificación de incertidumbre (UQ, por las siglas en inglés de Uncertainty Quantification), se refiere a la medición de incertidumbre en un contexto en el que se utilizan modelos matemáticos muy complejos. Por ejemplo los modelos del clima, los cuales requieren la solución de miles y hasta millones de sistemas de ecuaciones, y por lo tanto, un altísimo poder de cómputo.
Uno de los pioneros de esta nueva disciplina es Andrew Majda, profesor de matemáticas del Instituto Courant de la Universidad de Nueva York, quien en los años noventa hizo trabajos seminales de UQ. Otro sin duda es Andrew Stuart, de la Universidad de Warwick, en Inglaterra, cuyo trabajo dio un formalismo matemático más puro al planteamiento de los problemas inversos en espacios de funciones.
Los problemas inversos son aquéllos que tratan de representar una parte de un modelo a partir de la observación de algunas variables. Si contamos con los datos de esas variables podemos plantear un problema de inferencia. Es como si tuviéramos todas las respuestas posibles y quisiéramos encontrar la pregunta a la que responden.
Un aspecto muy importante es que debemos contar con suficientes datos. Hace tres décadas los escenarios en la investigación científica eran menos favorables: no había datos o había muy pocos, o era muy difícil o muy costoso obtenerlos. Parte del origen de que en años recientes la cuantificación de incertidumbre se haya vuelto un área de investigación muy activa es que en la actualidad tenemos acceso a una gran cantidad de datos y además contamos con el poder de cómputo para estudiarlos. Por otra parte, ya no es posible ignorar la existencia de los datos y tampoco es suficiente con estudiar las propiedades cualitativas de los fenómenos, sino que es necesario confrontarlas con los datos existentes y mostrar qué tan confiables son nuestros modelos.
La cuantificación de incertidumbre se aborda necesariamente de forma interdisciplinaria. Para el Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT), localizado en la ciudad de Guanajuato, es un área muy atractiva porque involucra las habilidades de muchos de nuestros investigadores y es transversal al trabajo de todas nuestras áreas de estudio. Quienes en esta institución hemos comenzado a cultivar esta disciplina provenimos de diferentes especializaciones: somos probabilistas, estadísticos, matemáticos aplicados, analistas de sistemas de ecuaciones diferenciales, analistas numéricos y computólogos, entre otros.
En los últimos años hemos desarrollado esta disciplina en proyectos de muy diversa índole. Por ejemplo, hemos estudiado el efecto de la estacionalidad y de la vacunación en las infecciones respiratorias agudas. Analizamos los registros de los sistemas regionales de salud pública para estudiar la eficacia de la vacunación y obtuvimos una herramienta para detectar brotes pandémicos y epidémicos de enfermedades respiratorias. También fuimos capaces de esclarecer cómo es la interacción entre el virus sincicial respiratorio y la influenza.
Otra aplicación que actualmente estamos llevando a cabo es la revisión de análisis de los datos de glucosa en sangre para predecir de manera temprana la diabetes tipo 2. La idea es analizar matemáticamente las pruebas clínicas no invasivas (aquellos procedimientos que no involucran instrumentos que penetran el cuerpo) para generar una herramienta que auxilie a los médicos endocrinólogos en su toma de decisiones. Hemos observado que es posible clasificar a los pacientes en sanos, diabéticos y, con una anticipación significativa, perdiabéticos. Los modelos que hemos desarrollado tienen una capacidad predicativa de aproximadamente el 60%, que está dentro de lo razonable. Al concluir este proyecto esperamos tener una capacidad predictiva mucho mayor.
Un proyecto que comenzamos el año pasado es el de proponer una estrategia de diagnóstico no invasivo de osteoporosis. Consiste en analizar los resultados de pruebas realizadas con fuentes de sonido llamados sonogramas para detectar anomalías en los huesos de los pacientes. El modelo subyacente que se utiliza es un modelo en ecuaciones diferenciales parciales. La meta, nuevamente, es darle a los médicos herramientas más precisas para tomar sus decisiones.
Además estamos trabajando en el diagnóstico de la enfermedad pulmonar obstructiva crónica, también a través de una prueba no invasiva. Aunque el proyecto aún no ha concluido, creemos haber encontrado el parámetro indicado para el diagnóstico de esta patología.
Otro de nuestros trabajos que utiliza las técnicas de cuantificación de incertidumbre es el del análisis no destructivo de frutas. Se trata de interrogar al fruto sin abrirlo, por ejemplo con luz visible, y conocer a partir de la cantidad de energía que refleja, transmite o absorbe sus componentes de interés para clasificarlo en términos de niveles de calidad. Este estudio es de utilidad para los productores nacionales de fruta que desean exportar sus productos.
El CIMAT también colaboró con el Instituto Mexicano del Petróleo en el desarrollo de un simulador de flujo multifásico en yacimientos petroleros. Como resultado de este trabajo se obtuvo un software que permite simular la extracción secundaria y terciaria de combustible tomando en cuenta las características particulares de los yacimientos mexicanos.
Actualmente en el CIMAT también estudiamos la identificación de parámetros en acuíferos. A partir de la observación de algunos pozos y la medición de su altura pisométrica se determinan las propiedades de los acuíferos, como pueden ser la transmisibilidad y conductividad en acuíferos confinados y freáticos, respectivamente.
En todos estos proyectos es importante señalar que los resultados no sustituyen a los tomadores de decisiones, sino que son herramientas de juicio para uso de ellos. Al utilizar métodos cuantitativos es de esperarse que sean más confiables. A medida que podamos codificar nuestras hipótesis en esos modelos y que podamos interrogarlos cuantificando y reduciendo la incertidumbre de los datos que arrojan, estaremos en condiciones de entregar mejores herramientas.
Escucha los audios sobre este tema en los siguientes enlaces:
https://soundcloud.com/centrosconacyt/cimat-incertidumbre-y-abundancia-de-datos-miguel-angel-moreles-2
https://soundcloud.com/centrosconacyt/cimat-que-es-la-cuantificacion-de-incetidumbre-marcos-aurelio-capistran-2